a. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-6;-5\right)\) và \(\overrightarrow{CA}=\left(1;2;1\right)\) 

Suy ra :

\(\left|\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right|=\left(\left|\begin{matrix}-6&-5\\2&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-5&1\\1&1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-6\\1&2\end{matrix}\right|\right)\)

Từ đó  do \(\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]\ne\overrightarrow{0}\) nên A, B, C không thẳng hàng và mặt phẳng (P) đi qua A,B,C có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{AB;}\overrightarrow{CA}\right]=\left(2;-3;4\right)\)

Suy ra (P) có phương trình:

 \(2\left(x-3\right)-3\left(y-3\right)+4\left(z-2\right)=0\)

hay : 

\(2x-3y+4z-5=0\)

b. Do \(OD=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}\) nên \(S_{\Delta ODE}\) bé nhất khi và chỉ khi \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất.

\(\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{n}=1.2.\left(-3\right)+1.4\)  và\(1.2+2\left(-3+1.4-5\ne0\right)\) nên \(OD\backslash\backslash\left(P\right)\). Bởi vậy tập hợp tất cả những điểm \(E\in\left(P\right)\) sao cho \(d\left(E;OD\right)\) bé nhất là OD trên mặt phẳng (P)

Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với (P). Khi đó d có phương trình :

\(\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\)

Gọi M là hình chiếu của O(0;0;0) trên (P). Khi đó tọa độ của M thỏa mãn hệ phương trình :

\(\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{4}\\2x-3y+4z-5=0\end{cases}\)

Giải hệ ta được : \(M\left(\frac{10}{29};\frac{-15}{29};\frac{20}{29}\right)\)

Vậy tập hợp tất cả các điểm E cần tìm là đường thẳng đi qua M, song song với OD, do đó có phương trình dạng tham số :

          \(\begin{cases}x=\frac{10}{29}+t\\y=-\frac{15}{29}+2t\\z=\frac{20}{29}+t\end{cases}\)   \(\left(t\in R\right)\)

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó \(I\left(2;0;2\right)\) với mọi điểm M đều có :

\(MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA^2}+\overrightarrow{MB^2}\)

                       \(=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2\)

                       \(=2MI^2+\left(IA^2+IB^2\right)=2MI^2+\frac{AB^2}{2}\)

Do đó \(M\in\left(P\right)\) sao cho \(MA^2+MB^2\) bé nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P). Khi đó ta có hệ phương trình :

\(\begin{cases}x+y+z-6=0\\\frac{x-2}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{1}\end{cases}\)

Giải hệ thu được :

\(x=\frac{8}{3};y=\frac{2}{3};z=\frac{8}{3}\)

Vậy điểm M cần tìm là \(M\left(\frac{8}{3};\frac{2}{3};\frac{8}{3}\right)\)

a, Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(2a+1\right)^2\ge0\\\left(b+3\right)^2\ge0\\\left(5c-6\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)\(\forall a,b,c\in R\)

\(\Rightarrow\left(2a+1\right)^2+\left(b+3\right)^2+\left(5c-6\right)^2\ge0\forall a,b,c\in R\)

Mà \(\left(2a+1\right)^2+\left(b+3\right)^2+\left(5c-6\right)^2\le0\)

Nên trường hợp chỉ xảy ra là : \(\left(2a+1\right)^2+\left(b+3\right)^2+\left(5c-6\right)^2=0\)

- Dấu " = " xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2a+1=0\\b+3=0\\5c-6=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{2}\\b=-3\\c=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b,c,d tương tự câu a nha chỉ cần thay số vào là ra ;-;

Để \(A = B\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {5;x} \right\} = \left\{ {2;5} \right\}\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)

Tương tự, ta có:

\(\begin{array}{l}A = C  \\\Leftrightarrow \left\{ {2;y} \right\} = \left\{ {2;5} \right\} \\ \Leftrightarrow y = 5\end{array}\)

Vậy \(x = 2;y = 5\) thì \(A = B = C\).

Bài 3:

a) \(\left(x-6\right).\left(2x-5\right).\left(3x+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-6\right).\left(2x-5\right).3.\left(x+3\right)=0\)

Vì \(3\ne0.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-6=0\\2x-5=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\2x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6\\x=\frac{5}{2}\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm là: \(S=\left\{6;\frac{5}{2};-3\right\}.\)

b) \(2x.\left(x-3\right)+5.\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right).\left(2x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\2x+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\2x=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm là: \(S=\left\{3;-\frac{5}{2}\right\}.\)

c) \(\left(x^2-4\right)-\left(x-2\right).\left(3-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2^2\right)-\left(x-2\right).\left(3-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).\left(x+2\right)-\left(x-2\right).\left(3-2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).\left(x+2-3+2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right).\left(3x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\3x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\3x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập hợp nghiệm là: \(S=\left\{2;\frac{1}{3}\right\}.\)

Chúc bạn học tốt!

Bài 4 xem lại đề nhé bác

AB=căn 5

AB: (x-1)/1=(y-3)/-2

=>2x+y-5=0

M thuộc Δ nên M(m;2-m)

\(d\left(M;AB\right)=\dfrac{\left|m-3\right|}{\sqrt{5}}\)

\(S_{AMB}=\dfrac{1}{2}\cdot MH\cdot AB=4\)

=>|m-3|=8

=>m=11(nhận) hoặc m=-5(loại)

=>M(11;-9)

=>3a+5b=3*11+5*(-9)=-12

a)đpcm<=>(a²+3)²>4(a²+2)<=>(a²+1)²>0(lđ)

b)đpcm<=>\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)

Theo AM-GM\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4+b^4+b^4\ge4a^3b\\b^4+a^4+a^4+a^4\ge4b^3a\end{matrix}\right.\)

=>đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a=b

c)AM-GM:\(VT\ge256\left|abcd\right|\ge256abcd\)

Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 2, hai số còn lại bằng -2 hoặc cả 4 số bằng 2 hoặc cả 4 số bằng -2

Bài 2:

a) \(\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|-6x=0\)

\(\Rightarrow\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|=6x\)

Ta có: \(\left|x+1\right|\ge0;\left|x+2\right|\ge0;\left|x+4\right|\ge0;\left|x+5\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|\ge0\)

\(\Rightarrow6x\ge0\)

\(\Rightarrow x\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+4\right|+\left|x+5\right|=x+1+x+2+x+4+x+5=6x\)

\(\Rightarrow4x+12=6x\)

\(\Rightarrow2x=12\)

\(\Rightarrow x=6\)

Vậy x = 6

b) Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2y-6}{6}=\frac{3z-9}{12}=\frac{x-2-2y+6+3z-9}{2-6+12}=\frac{\left(x-2y+3z\right)-\left(2-6+9\right)}{8}\)

\(=\frac{14-5}{8}=\frac{9}{8}\)

+) \(\frac{x-2}{2}=\frac{9}{8}\Rightarrow x-2=\frac{9}{4}\Rightarrow x=\frac{17}{4}\)

+) \(\frac{y-3}{3}=\frac{9}{8}\Rightarrow y-3=\frac{27}{8}\Rightarrow y=\frac{51}{8}\)

+) \(\frac{z-3}{4}=\frac{9}{8}\Rightarrow z-3=\frac{9}{2}\Rightarrow z=\frac{15}{2}\)

Vậy ...

c) \(5^x+5^{x+1}+5^{x+2}=3875\)

\(\Rightarrow5^x+5^x.5+5^x.5^2=3875\)

\(\Rightarrow5^x.\left(1+5+5^2\right)=3875\)

\(\Rightarrow5^x.31=3875\)

\(\Rightarrow5^x=125\)

\(\Rightarrow5^x=5^3\)

\(\Rightarrow x=3\)

Vậy x = 3

Bài 1 hình như sai đề bạn ạ?

a) \(A=\left[\left(\frac{1}{5}\right)^2\right]^{\frac{-3}{2}}-\left[2^{-3}\right]^{\frac{-2}{3}}=5^3-2^2=121\)

b) \(B=6^2+\left[\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{3}{4}}\right]^{-4}=6^2+5^3=161\)

c) \(C=\frac{a^{\sqrt{5}+3}.a^{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-1\right)}}{\left(a^{2\sqrt{2}-1}\right)^{2\sqrt{2}+1}}=\frac{a^{\sqrt{5}+3}.a^{5-\sqrt{5}}}{a^{\left(2\sqrt{2}\right)^2-1^2}}\)

                              \(=\frac{a^{\sqrt{5}+3+5-\sqrt{5}}}{a^{8-1}}=\frac{a^8}{a^7}=a\)

d) \(D=\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)^2:\left(b-2b\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{b^2}{a}\right)\)

        \(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2:b\left[1-2\sqrt{\frac{b}{a}}+\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\right]\)

        \(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2:b\left(1-\sqrt{b}a\right)^2\)